BERBAGAI CARA MEDIAN, MEAN, DAN MODUS

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Nilai Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak, atau nilai posisi tengah, yang biasa diberi lambang : Mdn, Me, atau Mn. Dalam pembicaraan selanjutnya akan digunakan lambang : Mdn.Dalam mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal ini ada dua kemungkinan  yang kita hadapi. Kemungkinan pertama ialah data tunggal itu seluruh skornya berfrekuensi 1: sedangkan kemungkinan kedua, bahwa data tunggal yang akan kita cari Nilai Rata-rata Pertengahannya itu sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari 1.

Mean atau rata-rata merupakan hasil bagi dari sejumlah skor dengan banyaknya responden. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhana, karena hanya membutuhkan jumlah skor dan jumlah responden (n). Modus biasanya Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan “rata-rata” data kualitatif

B.     Rumusan Masalah

Dari latar belakang diatas maka rumusan masalah ialah bagaimana cara mencari Median, Mean dan Modus

C.    Tujuan

Adapun penulisan tujuan makalah ini ialah agar mengetahui cara mencari Median, Mean, dan Modus

BAB II

PEMBAHASAN

BERBAGAI CARA MEDIAN, MEAN, DAN MODUS

A.    Median

1.      Pengertian Median

Nilai Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak, atau nilai posisi tengah, yang biasa diberi lambang : Mdn, Me, atau Mn. Dalam pembicaraan selanjutnya akan digunakan lambang : Mdn. Yang dimaksud dengan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median ialah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam kedua bagian yang sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rta-rata Pertengahan atau median adalah nilai atau angka yang di atas nialai atau angka tersebut terdapat 1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. itulah sebabnya Nilai Rata0rata ini dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai posisi Tengah, yaitu nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu distribusi data.(Sudijono, 2011:93)

2.      Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan  (Median)

Ada beberapa cara untuk mencari Nilai Rata-rata Pertengahan, seperti dapat diikuti pada uraian berikut ini.

a)      Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal

Dalam mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal ini ada dua kemungkinan  yang kita hadapi. Kemungkinan pertama ialah

1)      Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1

Di sini pun kita berhadapan dengan dua kemungkinan, yaitu:

a.       Mencari Nilai Rata-rata pertengahan untuk Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number of cases-nya berupa bilangan gasal.

Untuk Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number of Cases-nya berupa bilangan gasal ( yaitu: N= 2n), maka median data yang demikian itu terletak pada bilangan yang ke (n). (Sudijono, 2011:94)

Contoh : 9 orang siMahasiswa menempuh Ujian lisan Dalam mata kuliah Teknik evaluasi Pendidikan. Nilai mereka adalah sebagai berikut : 65 75 60 70 55 50 80 40 30. Untuk mengetahui nilai berapakah yang merupakan nilai rata-rata pertengahan atau median dari kumpulan nilai hasil ujian tersebut, pertama deretan itu kita atur mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi: 30 40 50 55 60 65 70 75 80

Kita lihat dalam deretan nilai di atas, bilangan ke-1 adalah 30, bilangan ke-2 =40, bilangan ke-3= 50, bilangan ke-4 = 55, bilangan ke-5 = 60, bilangan ke- 6 = 65, bilangan ke-7 = 70, bilangan ke-8 = 75, bilangan ke-9 = 80.

Karena N = 9, sedang rumus bilangan gasal adalah : N= 2n, maka

 9 = 2n 

9 = 2n

9-1   = 2n

2n = 8

 n = 4

Dengan demikian nialai yang merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari nilai hasil ujian lisan tersebut adalah nilai ( bilangan) yang ke-4 atau bilangan ke 5, yaitu nilai 60.

b.      Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1, dan Number of Cases nya berupa bilangan genap.

Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number of cases nya merupakan bilangan genap ( yaitu : N = 2n ), maka median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikia itu terletak antara bilangan yang ke-n dan ke (n). (Sudijono, 2011:95)

Contoh : tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka sebagai berikut : 168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165 cm.

Cara mencari Nilai Rata-rata pertengahan atau Mediannya sama seperti telah dikemikakan di atas, yaitu pertama deretan angka itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terrendah sampai dengan nilai tertinggi.

 

Karena N = 10 ( merupakan bilangan bulat ), sedang rumus untuk bilangan bulat adalah

N = 2n, maka: 10 = 2n

n = 5

jadi Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan dari tinggi badan 10 orang peserta tes seleksi Calon Penerbang itu terletak antara bilangan ke-5 dan ke (5), atau antara bilangan ke-5 dan ke-6. Dalam deretan angka-angka di atas, bilangan ke-5 adalah 165, sedangkan bilangan bilangan ke 6 adalah 166. (Sudijono, 2011:96)

Jadi Mdn  165 166  165, 50                                                                                   2

jika kedua data yang telah dijadikan contoh di atas kita tuangkan dalam bentuk Tabel Distribusi frekuensi dan kemudian kita cari mediannya, keadaannya adalah sebagai berikut :

Median Nilai Hasil ujian lisan dari 9 orang mahasiswa.

X	F
80	1
75	1
70	1
65	1
60	1
55	1
50	1
40	1
30	1
Total	9=N

                       

Median Tinggi Badan 10 orang calon yang mengikuti

 tes calon penerbang

X	F
170	1
169	1
168	1
167	1
166	1
165	1
164	1
163	1
162	1
161	1
Total	10= N

Mdn  = 165  = 165, 50

2

2)      Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu .(Sudijono, 2011:97)

Apabila Data Tunggal yang akan kita cari Nilai Rata-rata pertengahan atau Mediannya, sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu, sebaiknya kita tidak menggunakan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, melainkan kita gunakan rumus sebagai berikut :

 

Mdn = £      1/2N –     atau : Mdn = u-    ½ N –  

                                                                          

 Mdn = Median

£     = lower limit ( Batas Bawah Nyata dari skor yang mengandung Median)

=  frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung Median

=   frekuensi asli ( frekuensi dari skor yang mengandung Median

N =   Number of Cases

u  = upper limit ( Batas atas nyata dari skor yang mengandung Median).

= frekuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung Median

   Contoh : Skor berikut ini menunjukkan usia 50 orang guru Agama Islam yang bertugas pada sekolah Dasar Negeri di suatu Kecamatan.

26 28 27 24 31 27 25 28 26 30

29 27 26 30 25 23 31 28 26 27

31 24 27 29 27 30 28 26 29 25

23 29 27 26 28 25 27 28 30 25

24 29 31 27 26 28 27 26 27 27

      Untuk mencari Median dari data semacam ini, terlebih dahulu kita siapkan Tabel Distribusi Frekuensinya, terdiri dari lima kolom. Kolom 1 : skor usia, kolom 2: tanda atau jari, kolom 3: frekuensi , kolom 4; frekuensi kumulatif yang di hitung dari bawah, dan kolom 5: frekuensi kumulatif yang di hitung dari atas. (Sudijono, 2011:98)

Setelah Tabel Distribusi Frekuensinya kita selesaikan pembuatannya, maka langkah berikutnya secara berturut-turut

a)      Pertama-tama data kita bagi dua bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar ½ N: pda pertengahan distribusi data itulah terletak Median yang akan kita cari. Karena N = 50, maka 1/2N = 1/2 X 50 = 25 ( 25 orang guru agama islam). Perhatikan kita arahkan pada kolom 4 tabel 3.7. titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada frekuensi kumulatif 30. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa Nilai Pertengahan Usia Guru Agama Islam itu terletak pada skor 27, atau skor yang mengandung Median adalah 27

b)      Karena skor yang mengandung Median adalah skor 27, maka dengan mudah dan cepat dapat kita ketahui:

1)     Lower limitnya, yaitu: 27 – 0,50 = 26, 50 jadi £ = 26, 50

2)      Frekuensi asinya (f) = 12.

3)      Frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung median (yaitu = 18.

c)      Dengan di ketahuinya £, maka dengan mensubstitusikannya kedalam rumus pertama, dapat kita peroleh Mediannya :

 

Mdn = £    1/2 N -        = 26,50 25 - 18  

                                                                                                12                            

= 26, 50  = 26,50     

= 27, 083 ( dapat di bulatkan menjadi 27 ).(Sudijono, 2011:99)

Tabel 3.7. Distribusi frekuensi untukl mencari Median ( Nilai Rata-rata Pertengahan ) Usia dari Sejumlah 50 Orang Guru Agama Islam

Nilai (X)	Tanda /jari-jari	F
31	1111	4	50 =N	4
30	1111	4	46	8
29	1111	5	42	13
28	111111	7	37	20
27	1111111111	12	30	32
26	1111111	8	18	40
25	1111	5	10	45
24	111	3	5	48
23	11	2	2	50
Total		50= N	-	-

                                                                                   

Selanjutnya kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari median dari data di atas. Perhatikan kita arahkan kepada kolom 5 tabel 3.7.

1)      Titik pertengahan data terletak pada ½ N yaitu 1/2 X 50= 25. Dalam frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas () , titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada sebesar 32. Dengan demikian dapat kita ketahui skor yang mengandung median yaitu skor 27.

2)      Karena skor yang mengandung median adalah 27 maka dengan mudah dapat kita ketahui:

a.       Batas atas nyata dari skor yang mengandung median, yaitu: 27 + 0,50 = 27,50 ; atau: u = 27,50.

b.      Frekuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mrngandung median  adalah 20 jadi  = 20.

c.       Frekuensi aslinya, atau frekuensi dari skor yang mengandung median adalah = 12 jadi  = 12 (Sudijono, 2011:100)

3)      Dengan diketahuinya: u, dan , mka dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus kedua, dapat diperoleh mediannya:

Mdn = u -    ½ N -      = 27,50 -    25 – 20

                                                                               12                                 

                  = 27,50 – 5/12 = 27,50 – 0,417

                  = 27, 083 ( dapat dibulatkan menjadi 27 )

b)     Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Kelompokan

Cara menghitung dan jalan pikiran yang ditempuh untuk menghitung atau mencari Nilai Rata-rata Pertengahan dari Data Kelompokan adalah sama saja dengan apa yang telah dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah, jika pada Data Tunggal kita tidak perlu memperhitungkan interval class (i), sedangkan pada Data Kelompokan kelas interval (i), itu harus ikut diperhitungkan, sehingga rumus di atas tadi berubah menjadi :

 

   Mdn =£ +   1/2N -    X I dan Mdn= u -   1/2N -    X i

                                                                              

Mdn  = Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan

L    = Lower limit ( Batas Bawah Nyata dari interval yang mengandung median ).                        

 =  frekuensi kumulatif yang terletak di bawah interval yang mengandung Median.         

        =  frekuensi aslinya ( yaitu frekuensi dari interval yang mengandung median

          u      =  upper limit ( Batas Atas Nyata dari interval yang mengandung median ).                       

      =  frekuensi kumulatif yang terletak di atas interval yang mengandung median.

  N        = Number of class. (Sudijono, 2011:101)

Contoh: Misalkan  100 orang siswa Madrasah Tsanawiyah menempuh EBTA dalam bidang studi Bahasa Arab. Distribusi frekuensi nilai mereka adalah sebagaimana tertera pada table 3.8 kolom 1 dan 2. Jika kita ingin mencari Mediannya menggunakan dua buah rumus yang telah dikemukakan di atas, maka kita perlu menyiapkan tabel perhitungannya sebagai berikut:

Tabel 3.8. Tabel Perhitungan untuk Mencari Median Nilai Hasil EBTA dlam Bahasa arab yang diikuti oleh 100 Orang Siswa Madrasah Tsanawiyah.

Interval Nilai	F
65 – 69	6	100 = N	6
60 – 64	24	94	30
55 – 59	25	70	55
50 -54	15	45	70
45 – 49	10	30	80
40 – 44	6	20	86
35 – 39	5	14	91
30 – 34	4	9	95
25 – 29	3	5	98
20 – 24	2	2	100 = N
Total:	100 = N	-	-

1)      Perhitungan Median Data Kelompokan dengan Rumus Pertama:

      langkah- langkah sebagai berikut :

Mencari letak pertengahan distribusi data, yaitu 1/2N ; karena N = 100, maka 1/2N = 50.

Perhatikan Tabel 3.8 kolom 3. Terletak Pertengahan data adalah pada frekuensi kumulatif sebesar 70. Dengan demikian, interval nilai yang mengandung median adalah interval nilai 56 – 59. Karena interval nilai yang mengandungmedian adalah 55 – 59, maka dengan cepat dapat kita ketahui:= 54,50;  25 ; sedangkan   = 45. Adapun interval kelasnya ( sebagaimana dapat diamati dar Tabel 3.8.) adalah = 5. Karena 1/2 N sudah kita ketahui, demikian juga  , dan I, pun telah kita ketahui, maka dengan menstribusikannya kedalam rumus pertama, dapat di peroleh mediannya:

 

Mdn =  -     1/2N -    X i = 54,50 -   50-45    X 5

                                                                              25

= 54, 50 +    X 5 = 54, 50 + 1 = 55,50 (Sudijono, 2011:102-103)

B.     Mean

1.      Pengertian Mean

Mean atau rata-rata merupakan hasil bagi dari sejumlah skor dengan banyaknya responden. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhana, karena hanya membutuhkan jumlah skor dan jumlah responden (n). Jika pencaran skor berdistribusi normal, maka rata-rata skor merupakan nilai tengah dari distribusi frekuensi skor tersebut. Rata-rata tidak mempertimbangkan pencaran (variabilitas) skor, sehingga sebelum melakukan interpretasi atas nilai rata-rata perlu melihat variabilitasnya.

Contoh:

Dua buah distribusi skor sebagai berikut:

Nilai matematika kelas A (10 Siswa)

10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

Nilai matematika kelas B (10 Siswa)

5  6  5  4  8  7  4  6  6  4

Jumlah skor pada contoh tersebut adalah :

Kelas A = 55

Kelas B = 55

Rata-rata nilai matematika :

Kelas A = 55/10 = 5,5

Kelas B = 55/10 =5,5

Jika dilihat pada hasil perhitungan rata-rata, maka kelas A tidak berbeda dengan kelas B, karena rata-ratanya sama. Sebenarnya antara kelas A dan kelas B mempunyai perbedaan dalam penyebaran skor (rentangan skor). Kelas A mempunyai rentangan skor 10 – 1 = 9, sedangkan kelas B rentangan skornya adalah 8 – 4 = 4. Dengan melihat rentangan skor masing-masing kelas dapat ditarik suatu kesimpulan  bahwa kelas  B lebih homogen dari kelas A.  (Irianto, 2004: 29)

2.      Cara Mencari Mean

a)      Cara mencari mean dari data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu

Mx = X

                N

Mx          = Mean yang kita cari

X         =  Jumlah dari skor-skor(nilai-nilai)yang ada

N            = Banyaknya skor-skor itu sendiri

Perhitungan mean hasil belajar seorang siswa SMA memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi PAI, BI, MTK, FISIKA, BIOLOGI, SEJARAH.

X	F
9 8 7 6 5 4	1 1 1 1 1 1
39=X	6=N

Dari table  telah kita peroleh :  X = 39, sedangkan N=6 dengan demikian:

MX = X = 39 = 6,50

                              N       6

b)     Cara mencari mean untuk data kelompok

Mencari mean data kelompok dengan menggunakan metode panjang

Pada perhitungan mean yang menggunakan metode panjang, semua kelompokan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari nilai tengah atau midpoint-nya. Setelah itu,tiap midpoint diperkalikan dengan frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.

Rumus yang dipergunakan :

MX = fX

  N 

 Mx           = MEAN yang kita cari

                        fX      = jumlah dari hasil perkalian antara midpoint dari masing-masing  interval, dengan frekuensinya

    N         = Banyaknya skor-skor itu sendiri

Contoh: Dalam tes seleksi penerimaan siswa baru SMA swasta yang diikuti 800 calon, diperoleh nilai hasil test bidang studi bahasa inggris sbb :

Interval Nilai	F
75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34	8 16 32 160 240 176 88 40 32 8
	800 = N

Perhitungan mean data yang tertera pada table di atas dengan menggunakan metode panjang.

Interval Nilai	F	X	fx
75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34	8 16 32 160 240 176 88 40 32 8	77 72 67 62 57 52 47 42 37 32	616 1152 2144 9920 13680 9152 4136 1680 1184 256
Total	800 = N	-	43920 = fx

Dari table di atas telah kita peroleh fx = 43920, adapun N=800. Dengan demikian:

MX = fX = 43920 = 54,90

 N        800 

(http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/09/21/bab-iv-pengukuran-gejala-pusat-mean-modus-median/)

C.    MODUS

1.      Pengertian Modus

Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan “rata-rata” data kualitatif. Jika kita dengar atau baca: kebanyakan kematian diindonesia diseabkan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan pengemudi, maka ini tiada lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas.

2.      Cara Mencari Modus

Modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukan frekuansi terbanyak diantara dua itu.

Contoh: 

Terdapat sampel dengan nilai-nilai data:

12 14 28 34	1 2 2 4

12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14, Dalam table dapat disusun seperti dibawah ini.

Frekuensi terbanyak , ialah f= 4,

terjadi untuk data bernilai 34.

 Maka Modus Mo= 34

Jika data kuantutatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, modusnya dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan    b = batas bawah kelas modus yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbanyak

p = panjang kelas modus

b₁ = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus

b₂ = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus. (Sudjana,1996:77)

Contoh soal:

Tentukan modus dari:

Nilai Ujian
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100	1 2 5 15 25 20 12
Jumlah	80

1)      Kelas modal = kelas kelima

2)      b= 70,5

3)      ₌

4)     

5)     

Mo= 70,5 + (10) (

Mo= 77,17

Modus, dibandingkan dengan ukuran lainnya, tidak tungal adanya. Ini berarti sekumpulan data bisa mempunyai lebih dari sebuah modus.

Contoh: Diberikan data seperti dibawah ini.

75 60 92 64 35	8 7 8 7 2

Dapat dilihat bahwa ada 8 data masing-masing bernilai 75 dan 92. Ini menyatakan bahwa modusnya ada dua, ialah 75 dan 92. (Sudjana,1996:78)

BAB III

PENUTUP

Simpulan

Nilai Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak, atau nilai posisi tengah, yang biasa diberi lambang : Mdn, Me, atau Mn. Dalam pembicaraan selanjutnya akan digunakan lambang : Mdn. Yang dimaksud dengan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median ialah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam kedua bagian yang sama besar.Mean atau rata-rata merupakan hasil bagi dari sejumlah skor dengan banyaknya responden. Perhitungan mean merupakan perhitungan yang sederhana, karena hanya membutuhkan jumlah skor dan jumlah responden (n). Jika pencaran skor berdistribusi normal, maka rata-rata skor merupakan nilai tengah dari distribusi frekuensi skor tersebut.

Modus biasanya Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan “rata-rata” data kualitatif

DAFTAR PUSTAKA

Irianto, Agus. 2004. Statistik. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Sudjana.1996. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

Sudijono. Anas. 2011. Pengantar Statistik Pendidikan.Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada

Parmita, Vebriana. 2013. (http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/09/21/bab-iv-pengukuran-gejala-pusat-mean-modus-median/). Diunduh 4 Oktober 2014 pukul: 07:30 WIB